单调队列学习笔记

单调队列是什么

与单调栈类似，单调队列同样本质上仍任是一个队列，不过队列中的元素是有序的。

单调队列用来干什么

众所周知，单调队列主要用来解决滑动窗口问题。

滑动窗口问题所指的是在给定的序列 $m$ 中寻找所有长度为 $k$ 连续区域 $\left[l, r\right]$ 内的最大值 / 最小值问题。

而使用单调队列解决滑动窗口的时间复杂度为 $O(n)$，比 ST 表、线段树、树状数组、平衡树更优。

单调队列的思想

以洛谷 P1886 滑动窗口 /【模板】单调队列为例子介绍。

创建两个 deque 作为单调队列（一个存储最大值，另一个最小值）。

样例：
当我们读入整个序列之后，开始遍历，初始时 $i$ 的位置如下：

$$a: \colorbox{RoyalBlue}{\color{Red}{1}} \quad 3 \quad -1 \quad -3 \quad 5 \quad 3 \quad 6 \quad 7 \newline deque_{max}: \text{empty} \newline deque_{min}: \text{empty}$$

由于此时的长度还不满足 $k$，并且两个 deque 都为空，所以将 $1$ 的下表 1 加入两个 deque。接着将 i 自增。

为什么是添加下标到队列中而不是值？

为了在长度超过 $k$ 时对队列进行元素弹出，所以添加下标进入队列中以便判断，并且也可以通过下标访问对应的值，但通过值查找下标就显得十分不便。

$$a: \colorbox{RoyalBlue}{1 \quad \color{Red}{3}} \quad -1 \quad -3 \quad 5 \quad 3 \quad 6 \quad 7 \newline deque_{max}: 1 \newline deque_{min}: 1$$

当我们将要把 $3$ 加入 dequeMax 时，发现里边已经非空，于是进行以下操作：

1. 判断新加入的 $x$ 与 deque 的最后一位 $end$ 对应的 $a_{end}$ 进行比较，如果 $x \geqslant a_{end}$ 就将 $end$ 弹出，并且重复此操作直到 $x < a_{end}$。
2. 加入 $x$ 的下标 i 到 deque 中。

最小值同理。

为啥要又弹又加的？

为了确保两个 deque 中元素之中按照一定的顺序进行排列，我们在添加之前需要将不符合顺序的元素弹出（当然因为我们求的是最大值 / 最小值，所以弹出不是最大值 / 最小值的元素对答案并无影响）。

进行完以上操作后结果如下：

$$a: \colorbox{RoyalBlue}{1 \quad \color{Red}{3}} \quad -1 \quad -3 \quad 5 \quad 3 \quad 6 \quad 7 \newline deque_{max}: 2 \newline deque_{min}: 1$$

继续进行下一次操作，操作完成之后：

$$a: \colorbox{RoyalBlue}{1 \quad 3 \quad \color{Red}{-1}} \quad -3 \quad 5 \quad 3 \quad 6 \quad 7 \newline deque_{max}: 2 \newline deque_{min}: 3$$

继续！

$$a: \colorbox{Salmon}{1} \quad \colorbox{RoyalBlue}{3 \quad -1 \quad \color{Red}{-3}} \quad 5 \quad 3 \quad 6 \quad 7 \newline deque_{max}: 2 \newline deque_{min}: 3$$

此时发现长度大于 $k$ 了，进行以下操作：

1. 先判断 $x$ 加入 deque 中。
2. 如果 deque 的开头的元素的下标 $start$ 小于等于 $i - k$，说明该下标所对应的值不再被包含在区间之内，将 $start$ 从 deque 中弹出。

最小值同理。

那么如何维护答案呢？
我们惊讶的发现，当 $i \geqslant k$ 时，需要输出此时的答案，那么此时的答案也正好为两个 deque 的队列头部。
所以将他们添加到答案序列 ans 中（并不弹出）。

最后是每一步的状态示意：

$$a: \colorbox{RoyalBlue}{1 \quad 3 \quad \color{Red}{-1}} \quad -3 \quad 5 \quad 3 \quad 6 \quad 7 \newline deque_{max}: 2 \newline deque_{min}: 3 \newline ans_{max}: a_{2} \newline ans_{min}: a_{3}$$

$$a: 1 \quad \colorbox{RoyalBlue}{3 \quad -1 \quad \color{Red}{-3}} \quad 5 \quad 3 \quad 6 \quad 7 \newline deque_{max}: 2 \newline deque_{min}: 4 \newline ans_{max}: a_{2} \quad a_{2} \newline ans_{min}: a_{3} \quad a_{4}$$

$$a: 1 \quad 3 \quad \colorbox{RoyalBlue}{-1 \quad -3 \quad \color{Red}{5}} \quad 3 \quad 6 \quad 7 \newline deque_{max}: 5 \newline deque_{min}: 4 \newline ans_{max}: a_{2} \quad a_{2} \quad a_{5} \newline ans_{min}: a_{3} \quad a_{4} \quad a_{4}$$

$$a: 1 \quad 3 \quad -1 \quad \colorbox{RoyalBlue}{-3 \quad 5 \quad \color{Red}{3}} \quad 6 \quad 7 \newline deque_{max}: 5 \newline deque_{min}: 4 \newline ans_{max}: a_{2} \quad a_{2} \quad a_{5} \quad a_{5} \newline ans_{min}: a_{3} \quad a_{4} \quad a_{4} \quad a_{4}$$

$$a: 1 \quad 3 \quad -1 \quad -3 \quad \colorbox{RoyalBlue}{5 \quad 3 \quad \color{Red}{6}} \quad 7 \newline deque_{max}: 7 \newline deque_{min}: 6 \newline ans_{max}: a_{2} \quad a_{2} \quad a_{5} \quad a_{5} \quad a_{7} \newline ans_{min}: a_{3} \quad a_{4} \quad a_{4} \quad a_{4} \quad 1_{6}$$

$$a: 1 \quad 3 \quad -1 \quad -3 \quad 5 \quad \colorbox{RoyalBlue}{3 \quad 6 \quad \color{Red}{7}} \newline deque_{max}: 8 \newline deque_{min}: 6 \newline ans_{max}: a_{2} \quad a_{2} \quad a_{5} \quad a_{5} \quad a_{7} \quad a_{8} \newline ans_{min}: a_{3} \quad a_{4} \quad a_{4} \quad a_{4} \quad 1_{6} \quad a_{6}$$

最后的答案序列也就是：

$$ans_{max}: 3 \quad 3 \quad 5 \quad 5 \quad 6 \quad 7 \newline ans_{min}: -1 \quad -3 \quad -3 \quad -3 \quad 3 \quad 3$$

code：

#include <deque>
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

class Num {
 public:
  int32_t id, val;

  Num(const int32_t id, const int32_t val) {
    this->id = id;
    this->val = val;
  }
};

int32_t n, k;
deque<Num> deq[2];
vector<int32_t> ans[2];

int main() {
  cin >> n >> k;

  Num tmp = Num(0, 0);
  for (int32_t i = 1, x; i <= n; ++i) {
    cin >> x;
    tmp = Num(i, x);
    while (deq[0].size() && x >= deq[0].back().val) {
      deq[0].pop_back();
    }
    while (deq[1].size() && x <= deq[1].back().val) {
      deq[1].pop_back();
    }

    deq[0].push_back(tmp);
    deq[1].push_back(tmp);

    while (i - k >= deq[0].front().id) {
      deq[0].pop_front();
    }
    while (i - k >= deq[1].front().id) {
      deq[1].pop_front();
    }

    if (i >= k) {
      ans[0].push_back(deq[1].front().val);
      ans[1].push_back(deq[0].front().val);
    }
  }

  for (auto i : ans[0]) {
    cout << i << ' ';
  }
  cout << endl;
  for (auto i : ans[1]) {
    cout << i << ' ';
  }
  cout << endl;

  return 0;
}

时间复杂度的小小说明

什么？你说 for 里套了一个 while 复杂度就是 $O(n^{2})$ 了？ 非也非也。
deque 中的数是我们之前所添加进来的，也就是说每一个数只会进入 deque 中一次，所以只要 while 或者不在 $k$ 的范围内了就会被弹出。
所以即使 while 在 for 里，单调队列的时间复杂度依然是 $O(n)$ 。

什么？神犇你说太简单了？那么来点更刺激的行不行？

二维滑动窗口

以洛谷 P2216 [HAOI2007] 理想的正方形为例，来看看二维的滑动窗口应该如何是好。

我们需要在一个二维的矩阵中计算最大值与最小值，显然可以使用滑动窗口来解决，但是现在还不是说 “就这？” 的时候，我们仍然需要仔细思考这个二维的滑动窗口问题。

如果将一维的滑动窗口模版套上你会发现这是行不通的。

为什么行不通？

当我们直接使用一维的模版时，每一个元素不仅仅进入队列中一次，而是多次进入队列（当需要更换行数，比如从第二行到第三行时），导致性能下降。

经过我们的苦思冥想，终于发现：我们并不需要直接进行二维的滑动窗口，一维一维的做不就行了？

首先在这个 $a \times b$ 的矩阵中，我们需要找出 $n \times n$ 的一个区域（其实 $n \times m$，这一题的 $m = n$），计算最大最小值。

$$\begin{matrix} 1 & 2 & 5 & 6 \\ 0 & 17 & 16 & 0 \\ 16 & 17 & 2 & 1 \\ 2 & 10 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \end{matrix}$$

为了求出 $\left(2, 2 \right)$ 到 $\left(3, 3 \right)$ 这段区间的最大最小值：

$$\begin{matrix} 1 & 2 & 5 & 6 \\ 0 & \colorbox{RoyalBlue}{\color{Red}{17}} & \colorbox{RoyalBlue}{\color{Red}{16}} & 0 \\ 16 & \colorbox{RoyalBlue}{\color{Red}{17}} & \colorbox{RoyalBlue}{\color{Red}{2}} & 1 \\ 2 & 10 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \end{matrix}$$

我们需要分别知道 $\left(2, 2\right)$ 到 $\left(2, 3\right)$ 的最大最小值，与 $\left(3, 2\right)$ 到 $\left(3, 3\right)$ 的最大最小值即可。

$$\begin{matrix} 1 & 2 & 5 & 6 \\ 0 & \colorbox{Orange}{\color{Red}{17}} & \colorbox{Orange}{\color{Red}{16}} & 0 \\ 16 & \colorbox{Purple}{\color{Red}{17}} & \colorbox{Purple}{\color{Red}{2}} & 1 \\ 2 & 10 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \end{matrix}$$

将样例的进行每一行的单调队列处理之后的结果：

$$max_{row_{i, j}} \gets \max_{x \in \left(i - n, i\right]}\left(num_{x, j}\right) \newline max_{row}: \quad \begin{matrix} 0 & 2 & 5 & 6 \\ 0 & 17 & 17 & 16 \\ 0 & 17 & 17 & 2 \\ 0 & 10 & 10 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & 2 \end{matrix}$$

$$max_{row_{i, j}} \gets \min_{x \in \left(i - n, i\right]}\left(num_{x, j}\right) \newline min_{row}: \quad \begin{matrix} 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 16 & 0 \\ 0 & 16 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \end{matrix}$$

在此基础上构建每一列的滑动窗口：

$$max_{column_{i, j}} \gets \max_{x \in \left(j - n, j\right]}\left(max_{row_{i, x}}\right) \newline max_{column}: \quad \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 17 & 17 & 16 \\ 0 & 17 & 17 & 16 \\ 0 & 17 & 17 & 2 \\ 0 & 10 & 10 & 2 \end{matrix}$$

$$min_{column_{i, j}} \gets \min_{x \in \left(j - n, j\right]}\left(min_{row_{i, x}}\right) \newline min_{column}: \quad \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{matrix}$$

所以 ans 的结果：

$$ans_{i,j} \gets max_{column_{i, j}} - min_{column_{i, j}} \newline ans: \quad \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 17 & 15 & 16 \\ 0 & 17 & 15 & 16 \\ 0 & 15 & 15 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 1 \end{matrix}$$

所以二维滑动窗口简要步骤如下：

1. 先对二维的其中一维进行滑动窗口处理。
2. 接着在另一维对已经处理过的那一维进行再次处理。

code：

#include <climits>
#include <deque>
#include <iostream>

using namespace std;

const int32_t MAX_A = 1000 + 10;

class Num {
 public:
  int32_t id;
  int32_t val;
  Num(const int32_t id, const int32_t val) {
    this->id = id;
    this->val = val;
  }
};

int32_t a, b, n;

int32_t ability[MAX_A][MAX_A];
int32_t preMaxLine[MAX_A][MAX_A], preMinLine[MAX_A][MAX_A];
int32_t preMaxCol[MAX_A][MAX_A], preMinCol[MAX_A][MAX_A];

int32_t ans = INT32_MAX;
deque<Num> deq[2];  // 0max 1min

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false);

  cin >> a >> b >> n;
  for (int32_t i = 1; i <= a; ++i) {
    for (int32_t j = 1; j <= b; ++j) {
      cin >> ability[i][j];
    }
  }

  Num tmp = Num(0, 0);
  for (int32_t i = 1; i <= a; ++i) {
    deq[0].clear();
    deq[1].clear();
    for (int32_t j = 1; j <= b; ++j) {
      tmp = Num(j, ability[i][j]);

      while (deq[0].size() && (ability[i][j] >= deq[0].back().val)) {
        deq[0].pop_back();
      }
      while (deq[1].size() && (ability[i][j] <= deq[1].back().val)) {
        deq[1].pop_back();
      }

      deq[0].push_back(tmp);
      deq[1].push_back(tmp);

      while ((j - n) >= deq[0].front().id) {
        deq[0].pop_front();
      }
      while ((j - n) >= deq[1].front().id) {
        deq[1].pop_front();
      }

      if (j >= n) {
        preMaxLine[i][j] = deq[0].front().val;
        preMinLine[i][j] = deq[1].front().val;
      }
    }
  }

  Num tmpMax = Num(0, 0), tmpMin = Num(0, 0);
  for (int32_t j = 1; j <= b; ++j) {
    deq[0].clear();
    deq[1].clear();
    for (int32_t i = 1; i <= a; ++i) {
      tmpMax = Num(i, preMaxLine[i][j]);
      tmpMin = Num(i, preMinLine[i][j]);

      while (deq[0].size() && (preMaxLine[i][j] >= deq[0].back().val)) {
        deq[0].pop_back();
      }
      while (deq[1].size() && (preMinLine[i][j] <= deq[1].back().val)) {
        deq[1].pop_back();
      }

      while (deq[0].size() && ((i - n) >= deq[0].front().id)) {
        deq[0].pop_front();
      }
      while (deq[1].size() && ((i - n) >= deq[1].front().id)) {
        deq[1].pop_front();
      }

      deq[0].push_back(tmpMax);
      deq[1].push_back(tmpMin);

      if (i >= n) {
        preMaxCol[i][j] = deq[0].front().val;
        preMinCol[i][j] = deq[1].front().val;
      }
    }
  }

  for (int32_t i = n; i <= a; ++i) {
    for (int32_t j = n; j <= b; ++j) {
      ans = min(ans, (preMaxCol[i][j] - preMinCol[i][j]));
    }
  }

  cout << ans << endl;

  return 0;
}

最后再来亿点点练习

• 洛谷 P1886 滑动窗口 /【模板】单调队列
• 洛谷 P1440 求 m 区间内的最小值
• 洛谷 P2032 扫描
• 洛谷 P2251 质量检测